Phương pháp nội suy đa thức Lagrange

Nội suy Lagrange (Lagrange interpolation) là phương pháp xác định một đa thức bậc $k$ thông qua $k+1$ các điểm thuộc đa thức đó.

Cho đa thức bậc $n$ có dạng $p(x) = a_0 + a_1x+a_2x^2 + \dots + a_nx^n$ và $n+1$ điểm phân biệt $(x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots,(x_n,y_n)$ sao cho $p(x_i)=y_i$ với $0\le i \le n$ thì $p(x)$ là đa thức bậc $n$ duy nhất đi qua toàn bộ các điểm ấy.

Ngược lại, nếu có $n+1$điểm phân biệt $(x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots,(x_n,y_n)$và muốn tìm ra đa thức $p(x)$ ta áp dụng công thức:

với

Ví dụ: Tìm đa thức qua ba điểm $(1,2),(2,-3),(4,5)$:

• $\displaystyle \ell_0(x) = \frac {(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} = \frac {(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)} = \frac {x^2-6x+8} 3$

• $\displaystyle \ell_1(x) = \frac {(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} = \frac {(x-1)(x-4)}{(2-1)(2-4)} = \frac {x^2-5x+4} {-2}$

• $\displaystyle \ell_2(x) = \frac {(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} = \frac {(x-1)(x-2)}{(4-1)(4-2)} = \frac {x^2-3x+2} 6$

Sau đó, kết hợp lại để tính đa thức mục tiêu cần tìm:

Chúng ta đi vào giải thích ý nghĩa của công thức trên.

Ý nghĩa các đa thức thành phần $\ell_i(x)$

Nếu nhìn vào công thức để tính các đa thức thành phần $\displaystyle \ell_i(x) = \prod_{j=0, j \ne i}^n \frac {x-x_j}{x_i-x_j}$ ta có thể nhận thấy nó có các tính chất sau:

• Là một đa thức bậc $n$

• Có giá trị bằng $0$ tại tất cả các điểm $x=x_j$ với $j \ne i$ , nghĩa là với $\ell_0(x)$ thì giá trị tại các điểm $\ell_0(x_1),\ell_0(x_2),\dots$ đều là $0$

• Có giá trị bằng $1$ tại điểm $x=x_i$ , nghĩa là $\ell_i(x_i)=1$

Ý nghĩa công thức tổng quát

Nhìn vào công thức tổng quát, ta có $\displaystyle p(x) = \sum_{i=0}^ny_i.\ell_i(x)$, là tổng của các đa thức thành phần thỏa:

• Mỗi đa thức thành phần đều có bậc $n$

• Tại bất kỳ mọi điểm $x=x_i$ thì $p(x_i) = y_i.\ell_i(x_i)$ vì tất cả các điểm $x=x_j$ đều có giá trị $\ell_i(x_j)$ bằng $0$. Hơn nữa như đề cập ở trên, nếu $x=x_i$ thì $\ell_i(x_i)=1$ nên suy ra $p(x_i) = y_i.\ell_i(x_i) = y_i$

Như vậy công thức tổng quát của phương pháp nội suy Lagrange thực chất là tổng các đa thức thành phần, mà mỗi đa thức thành phần có giá trị bằng $1$ tại điểm tương ứng với nó.

Demo