Euler Product Formula: A Sieve Proof of Riemann Zeta's Link to Primes

Việc kết nối hàm Zeta Riemann ( $\zeta(s)$ ) với các số nguyên tố là một trong những khám phá vĩ đại nhất của Leonhard Euler vào năm 1737. Đây được gọi là Công thức Tích Euler (Euler Product Formula). Dưới đây là cách chứng minh trực quan bằng phương pháp "sàng lọc" (tương tự như Sàng Eratosthenes).

Định nghĩa hàm Zeta $\zeta$

Hàm Zeta Riemann được định nghĩa là tổng vô hạn của các lũy thừa nghịch đảo:

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots

Với điều kiện phần thực của $s > 1$ để tổng hội tụ.

Công thức tích Euler

Euler đã chứng minh được công thức vô cùng thú vị chỉ ra mối liên hệ giữa hàm Zeta và các số nguyên tố sau đây:

\zeta(s) = \prod_{p \in \text{SNT}} \frac{1}{1 - p^{-s}}

Hoặc viết dưới dạng khai triển chuỗi hình học cho mỗi số nguyên tố:

\zeta(s) = \prod_{p \in \text{SNT}} \left( 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \frac{1}{p^{3s}} + \dots \right)

Chứng minh

Bước 1: Loại bỏ các bội số của $2^s$ . Ta nhân $\zeta(s)$ với $\displaystyle \frac{1}{2^s}$ :

\frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \dots

Lấy biểu thức gốc trừ đi biểu thức này:

\zeta(s) - \frac{1}{2^s}\zeta(s) = \left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \dots

Bước 2: Loại bỏ các bội số của $3^s$ . Tiếp tục nhân kết quả trên với $\displaystyle \frac 1 {3^s}$ :

\frac{1}{3^s}\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \dots

Trừ đi một lần nữa:

\left(1 - \frac{1}{3^s}\right)\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \dots

Bước 3: Lặp lại cho tất cả các số nguyên tố. Chúng ta tiếp tục quá trình này vô hạn lần cho mọi số nguyên tố $p$ ( $p = 2, 3, 5, 7, 11, \dots$ ):

\left( \dots \left(1 - \frac{1}{p^s}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{3^s}\right)\left(1 - \frac{1}{2^s}\right) \right) \zeta(s) = 1

Vì khi ta sàng lọc qua tất cả các số nguyên tố, mọi số hạng $\displaystyle \frac{1}{n^s}$ (với $n > 1$ ) đều sẽ bị triệt tiêu (do mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước nguyên tố), chỉ còn lại số $1$ ở vế phải. Lúc này ta có:

\begin{align*} \prod_{p \in \text{SNT}} (1-\frac 1 {p^s})\zeta(s)&=1 \\ \implies \zeta(s) &= \left(\prod_{p \in \text{SNT}} (1-\frac 1 {p^s})\right) ^ {-1} \\ \implies \zeta(s) &= \prod_{p \in \text{SNT}} (\frac 1 {1-p^{-s}}) \quad \checkmark \end{align*}

Đây là "viên gạch" đầu tiên để Bernhard Riemann sau này phát triển Giả thuyết Riemann, liên quan đến sự phân bố của các số nguyên tố.

Chứng minh Công thức Tích Euler

Định nghĩa hàm Zeta $\zeta$

Công thức tích Euler

Chứng minh

More from Fun Maths & Statistics

Comments

Chứng minh Công thức Tích Euler

Định nghĩa hàm Zeta ζ\zetaζ

Công thức tích Euler

Chứng minh

More from Fun Maths & Statistics

Comments

Định nghĩa hàm Zeta $\zeta$