Lắc Bầu Cua: Uncover the Probability Behind the House Win

Mỗi dịp cuối năm, công ty mình hay tổ chức mấy anh em chơi Lắc Bầu Cua. Mình hay được anh em cho làm cái (lạ lùng thay, mình toàn lỗ nặng! 😥😥😥). Gần đây, nói chuyện với một nhóm bạn, có một anh bạn tên Sơn đang làm nghiên cứu về Reinforcement Learning về đề tài Covid, anh ta nhắc đến trò chơi này rằng anh ta có một số phát hiện rất thú vị. Mình xin ghi chép lại các điểm thú vị của bạn ấy trong bài viết này.

Giới thiệu

Bầu Cua Tôm Cá (hay Hoo Hey How) thường được xem là một trò chơi thuần túy may rủi, "dễ thắng" vì luật chơi cực kỳ đơn giản. Tuy nhiên, đằng sau những linh vật quen thuộc là một hệ thống xác suất được thiết kế tinh vi để đảm bảo nhà cái luôn là người chiến thắng cuối cùng mà không cần đến bất kỳ tiểu xảo hay sự gian lận nào.

Luật chơi cơ bản

Trò chơi sử dụng 3 con xúc sắc 6 mặt, mỗi mặt là một linh vật (Bầu, Cua, Tôm, Cá, Nai, Gà). Nhà cái lắc xúc sắc. Người chơi đặt tiền vào một hoặc nhiều ô linh vật trên bàn cược. Nhà cái trả thưởng theo quy tắc:

Trúng 1 hột: Trả 1 ăn 1 (Hoàn vốn + thưởng 1).
Trúng 2 hột: Trả 1 ăn 2 (Hoàn vốn + thưởng 2).
Trúng 3 hột: Trả 1 ăn 3 (Hoàn vốn + thưởng 3).

Lầm tưởng về sự "Huề vốn"

Có một quan niệm sai lầm rất phổ biến rằng: "Nếu đặt tiền đều vào cả 6 cửa thì kết quả sẽ luôn huề vốn."

Logic của lầm tưởng này là: Có 3 con xúc sắc tung ra, chúng sẽ chiếm chỗ của 3 ô linh vật. Nhà cái chỉ đơn giản là lấy tiền từ 3 ô thua trả cho 3 ô thắng. Vì nghĩ là huề vốn (làm phí thời gian), nên trong thực tế hầu như không ai đặt như vậy. Thực thế, toán học chứng minh rằng: Nếu bạn thực sự đặt đều cả 6 cửa, bạn không huề vốn mà sẽ thua lỗ chắc chắn. Thực ra, kết quả thu về sẽ phụ thuộc hoàn toàn vào việc các mặt xúc sắc có bị "trùng" hay không:

Trường hợp 1: Ba mặt ra hoàn toàn khác nhau (Xác suất ~55.5%)
- Có 3 ô thắng đơn. Tổng thu về: $3 \times (1 \text{ vốn} + 1 \text{ lãi}) = 6$ đồng.
- Kết quả: Huề vốn. Đây là trường hợp duy nhất nhà cái không ăn được tiền của bạn.
Trường hợp 2: Có hai hột giống nhau - "Về cặp" (Xác suất ~41.7%)
- Ví dụ: 2 hột Bầu, 1 hột Cua.
- Ô Bầu: Nhận 1 vốn + 2 lãi = 3 đồng.
- Ô Cua: Nhận 1 vốn + 1 lãi = 2 đồng.
- Tổng thu: 5 đồng.
- Kết quả: Bạn lỗ 1 đồng.
Trường hợp 3: Cả ba hột giống nhau - "Bộ ba" (Xác suất ~2.8%)
- Ví dụ: 3 hột Bầu.
- Chỉ có 1 ô thắng duy nhất: Nhận 1 vốn + 3 lãi = 4 đồng.
- Kết quả: Bạn lỗ 2 đồng.

Như vậy có thể thấy là nếu đặt cược như vậy, về lâu dài thì bạn chắc chắn sẽ thua lỗ.

Tại sao nhà cái luôn THẮNG?

Để hiểu tại sao nhà cái luôn thắng, chúng ta không thể nhìn vào từng ván đơn lẻ mà phải nhìn vào Giá trị kỳ vọng ( $E$ ) – số tiền trung bình một người chơi nhận lại trên mỗi đồng vốn bỏ ra trong dài hạn.

Tính toán kỳ vọng với nguyên mẫu 3 hột xúc sắc

Giả sử bạn đặt 1 đồng vào cửa "Bầu". Chúng ta có 3 hột xúc sắc độc lập, mỗi hột có xác suất xuất hiện mặt Bầu là $\displaystyle p = \frac 1 6$ .

Số tiền bạn nhận về ( $V$ ) bao gồm cả vốn và lãi sẽ phụ thuộc vào số mặt Bầu xuất hiện ($m$):

$m = 0$ (Không có hột nào): Bạn nhận 0 đồng.
$m = 1$ (Trúng 1 hột): Nhận 1 vốn + 1 lãi = 2 đồng.
$m = 2$ (Trúng 2 hột): Nhận 1 vốn + 2 lãi = 3 đồng.
$m = 3$ (Trúng 3 hột): Nhận 1 vốn + 3 lãi = 4 đồng.

Sử dụng phân phối nhị thức $B(3, 1/6)$ để tính xác suất cho từng trường hợp:

$P(m=0) = (5/6)^3 = 125/216$
$P(m=1) = 3 \times (1/6) \times (5/6)^2 = 75/216$
$P(m=2) = 3 \times (1/6)^2 \times (5/6) = 15/216$
$P(m=3) = (1/6)^3 = 1/216$

Giá trị kỳ vọng ( $E$ ):

E = (0 \times \frac{125}{216}) + (2 \times \frac{75}{216}) + (3 \times \frac{15}{216}) + (4 \times \frac{1}{216}) = \frac{199}{216} \approx 0.9213

Kết quả:

Với mỗi 1 đồng đặt cược, người chơi trung bình chỉ nhận lại khoảng 0.921 đồng. Nhà cái mặc nhiên hưởng lợi nhuận biên (House Edge) là:

1 - 0.9213 = 0.0787 \approx 7.87\%

Điều này có nghĩa là trong dài hạn, cứ mỗi 100 triệu đồng giao dịch qua bàn cược, nhà cái sẽ thu về gần 8 triệu đồng tiền "phí" mà người chơi không hề hay biết. Con số này cao hơn hẳn so với mức 2.7% của trò Roulette hay khoảng 1% của Baccarat, biến Bầu Cua thành một cỗ máy in tiền thực thụ.

Bao nhiêu hột xúc sắc là tốt?

Tiếp theo, chúng ta sẽ đặt ra một câu hỏi mang tính tối ưu hóa: Tại sao lại là 3 hột? Nếu tăng lên 4, 5 hột để trò chơi trông có vẻ kịch tính và dễ trúng hơn, liệu nhà cái có thu được nhiều lợi nhuận hơn không?

Hàm số lợi nhuận

Để so sánh công bằng, chúng ta cần một hệ thống trả thưởng có tương quan. Giả sử nhà cái thiết lập mức thưởng lãi ( $k$ ) tỷ lệ nghịch với số hột ( $n$ ) theo công thức $k = \displaystyle \frac 3 n$ (để tổng mức thưởng tiềm năng luôn quanh mốc 3).

Với $n=1$ , thưởng $k=3$ (1 ăn 3).
Với $n=2$ , thưởng $k=1.5$ (1 ăn 1.5).
Với $n=3$ , thưởng $k=1$ (1 ăn 1 - Luật truyền thống).

Ta đi tính hàm lợi nhuận của nhà cái ( $L$ ) trên mỗi đồng vốn. Giả sử bạn đặt 1 đồng vào 1 cửa. Lợi nhuận kỳ vọng của nhà cái ( $L$ ) chính là $1 - E$ , với $E$ là kỳ vọng số tiền người chơi nhận lại.

Tính kỳ vọng nhận lại ( $E$ ) của người chơi

Số tiền bạn nhận về ( $V$ ) khi thắng ở hệ thống $n$ hột với mức thưởng $\displaystyle k = \frac 3 n$ là:

V = 1 \text{ (vốn)} + m \cdot \frac{3}{n} \text{ (lãi)}

Trong đó $m$ là số hột trúng.

Kỳ vọng $E$ được tính bằng tổng của giá trị nhận về nếu trúng $m$ hột (từ $1-n$ ) nhân với xác suất trúng $m$ hột:

E = \sum_{m=1}^{n} P(m) \cdot \left( 1 + m \cdot \frac{3}{n} \right)

Chúng ta tách biểu thức này thành hai phần:

Phần 1 (Tiền vốn): Bạn chỉ nhận lại vốn khi $m \ge 1$ . Vậy giá trị kỳ vọng của tiền vốn là $1 \cdot P(m \ge 1)$ .
Mà $\displaystyle P(m \ge 1) = 1 - P(m=0) = 1 - (\frac 56)^n$ .
Phần 2 (Tiền lãi): Tổng kỳ vọng tiền lãi là $\sum (P(m) \cdot m \cdot \frac{3}{n}) = \frac{3}{n} \cdot \sum (m \cdot P(m))$ . Trong đó $\sum (m \cdot P(m))$ chính là kỳ vọng số hột trúng trong phân phối nhị thức, bằng $\displaystyle n \cdot p = n \cdot \frac{1}{6}$ .

Vậy tiền lãi kỳ vọng là: $\displaystyle \frac{3}{n} \cdot (n \cdot \frac{1}{6}) = \frac{3}{6} = 0.5$ . Cộng lại ta có:

E = [1 - (\frac 5 6)^n] + 0.5 = 1.5 - (\frac 5 6)^n

Tính lợi nhuận nhà cái ( $L$ )

Lợi nhuận nhà cái trên mỗi 1 đồng đặt cược là:

L(n) = 1 - E = (\frac 5 6)^n - 0.5

Để thấy được xu hướng của lợi nhuận, ta xét đạo hàm của $L(n)$ theo số hột $n$ :

L'(n) = (\frac 5 6)^n \cdot \ln(\frac 5 6)

Ta có $\ln(5/6)$ mang giá trị âm (khoảng $-0.182$ ), nên:

L'(n) < 0 \quad \forall n \ge 1

Nhận xét: Đạo hàm luôn âm chứng tỏ $L(n)$ là một hàm số nghịch biến. Nghĩa là khi số lượng hột xúc sắc tăng lên, lợi nhuận của nhà cái sẽ giảm dần.

Bây giờ thử tính thử

$L(1) = \frac 5 6 - 0.5 \approx 0.33$ (khoảng 33%)
$\displaystyle L(2) = (\frac 5 6)^2 - 0.5 \approx 0.194$ (khoảng 19.4%)
$\displaystyle L(3) = (\frac 5 6)^3 - 0.5 \approx 0.079$ (khoảng 7.9%)
$\displaystyle L(4) = (\frac 5 6)^4 - 0.5 \approx -0.0177$ (khoảng -1.8%)
... giảm dần dưới 0

Như vậy chúng ta có thể thấy, ở ngưỡng 3 hột xúc sắc, nhà cái vẫn có lời và không lời quá nhiều (nhiều quá thì người chơi bỏ chạy tuốt!). Thật kỳ diệu! Đây là trò chơi dân gian, thế mà ông bà ta ngày xưa đã chọn đúng 3 hột xúc sắc, không phải 2, không phải 4... không biết ông bà ta ngày xưa có tính xác suất không nhỉ?! 😁😁🤣

Nhà cái chỉ muốn xúc sắc cân bằng

Trong tư duy thông thường, người ta nghĩ nhà cái thắng nhờ "mánh khóe". Nhưng thực tế, với một nhà cái chuyên nghiệp, xúc sắc bị lệch là một rủi ro hệ thống kinh khủng.

Luật số lớn (Law of Large Numbers)

Nhà cái không chơi với "vận may", họ chơi với "số lớn": nghìn ván, triệu ván. Khi xúc sắc Fair ( $p = 1/6$ cho mọi mặt), người chơi có xu hướng đặt cược phân tán đều vào 6 cửa.

Lúc này, tổng tiền đặt cược $S$ sẽ được chia đều $\displaystyle \frac S 6$ cho mỗi cửa.
Dù kết quả ra bất kỳ con gì, nhà cái luôn thu về lợi nhuận xấp xỉ $7.87\%$ tổng lượng tiền giao dịch. Dòng tiền này cực kỳ ổn định và ít biến động.

Xúc sắc lệch sẽ triệt tiêu lợi nhuận nhà cái

Giả sử có một con xúc sắc bị lệch khiến mặt "Bầu" xuất hiện nhiều hơn: $p_{bầu} = 1/6 + \epsilon$ (với $\epsilon > 0$ ). Các mặt khác sẽ giảm xác suất xuống để tổng vẫn bằng 1.

Nếu người chơi (hoặc các "thánh soi") nhận ra điều này, họ sẽ dồn tiền vào cửa Bầu. Hãy xem kỳ vọng $E$ của người chơi sẽ thay đổi thế nào.

Giả sử bạn đặt 1 đồng vào một cửa có xác suất trúng là $p$ (với xúc sắc fair, $p = 1/6$ ).

Gọi $X$ là biến ngẫu nhiên chỉ số hột trúng trong $n$ hột xúc sắc. $X$ tuân theo phân phối nhị thức $B(n, p)$ .

Số tiền nhận về ( $V$ ) khi có $m$ hột trúng là:

Nếu $m = 0$ : $V = 0$
Nếu $m \ge 1$ : $V = 1 \text{ (vốn)} + m \cdot \frac{3}{n} \text{ (lãi)}$

Giá trị kỳ vọng $E$ là:

E = \sum_{m=1}^{n} P(X=m) \cdot \left( 1 + m \cdot \frac{3}{n} \right)

Ta có thể tách tổng trên thành hai phần riêng biệt:

E = \underbrace{\sum_{m=1}^{n} P(X=m) \cdot 1}_{\text{Phần 1: Hoàn vốn}} + \underbrace{\sum_{m=1}^{n} P(X=m) \cdot m \cdot \frac{3}{n}}_{\text{Phần 2: Tiền lãi}}

Phân tích Phần 1 (Hoàn vốn):

Tổng xác suất của tất cả các trường hợp có ít nhất một hột trúng:

\sum_{m=1}^{n} P(X=m) = P(X \ge 1)

Theo tính chất xác suất đối ngẫu với $P(X=0)=(1-p)^n$ (nghĩa là cả $n$ hột đều không trúng vối xác suất mỗi hột không trúng là $1-p$ ):

P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - (1-p)^n

Vậy phần hoàn vốn là: $1 - (1-p)^n$ .

Phân tích Phần 2 (Tiền lãi):

Ta đưa hằng số $\displaystyle \frac{3}{n}$ ra ngoài dấu tổng:

\frac{3}{n} \cdot \sum_{m=1}^{n} m \cdot P(X=m)

Lưu ý rằng trường hợp $m=0$ thì $m \cdot P(X=0) = 0$ , nên ta có thể viết lại tổng này chạy từ $0$ :

\frac{3}{n} \cdot \sum_{m=0}^{n} m \cdot P(X=m)

Biểu thức $\sum_{m=0}^{n} m \cdot P(X=m)$ chính là công thức tính Kỳ vọng của phân phối nhị thức ( $E[X]$ ).

Theo lý thuyết xác suất, $E[X] = n \cdot p$ . Thay vào ta có:

\frac{3}{n} \cdot (n \cdot p) = 3p

Cộng hai phần lại, ta có công thức tổng quát cuối cùng:

E = [1 - (1-p)^n] + 3p

Nếu một người chơi nhận ra một mặt nào đó của xúc sắc có tỷ lệ xuất hiện cao hơn, họ sẽ dồn vào đặt cửa đó, giả sử đó là mặt Bầu đi, lúc này kỳ vọng người chơi đặt vào mặt Bầu là:

E_{bầu} = [1 - (1 - p_{bầu})^n] + 3p_{bầu}

Khi $p_{bầu}$ tăng, cả hai thành phần (xác suất hoàn vốn và tiền lãi kỳ vọng) đều tăng. Chỉ cần $p_{bầu}$ nhích nhẹ từ $1/6$ ( $16.6\%$ ) lên $1/5$ ( $20\%$ ), người chơi đã có lợi thế áp đảo. Dù xác suất các mặt khác giảm xuống (giúp nhà cái tăng lợi nhuận ở các cửa đó), nhưng người chơi khôn ngoan sẽ không đặt vào đó. Nhà cái sẽ thắng nhiều hơn ở những cửa không có người đặt, và thua đậm ở cửa có dòng tiền đổ dồn vào.

Tóm lại, nhà cái không sợ người chơi thắng bằng may mắn, họ chỉ sợ người chơi thắng bằng quy luật. Xúc sắc công bằng là 'bức tường lửa' bảo vệ lợi nhuận của nhà cái. Một khi bức tường này có vết nứt (hột lệch), toàn bộ lợi thế toán học sẽ sụp đổ, biến nhà cái thành cột trụ thanh khoản cho những người chơi biết quan sát.

Lắc Bầu Cua: Ông bà ta nghìn xưa đã biết tính xác suất