Back to Home

Số Hoàn Hảo: Lịch Sử, Định Nghĩa & Định Lý Euclid-Euler

Fun Maths & Statistics (15)

Số hoàn hảo

Số hoàn hảo là số bằng tổng tất cả các ước số dương nhỏ hơn nó. Ví dụ:

  • 66 là số hoàn hảo vì 6=1+2+36=1+2+3 - 1,2,31,2,3 là các tất cả ước số của 66 và nhỏ hơn 66

  • 2828 là số hoàn hảo vì 28=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+14 - 1,2,4,7,141,2,4,7,14 các tất cả ước số của 2828 và nhỏ hơn 2828

  • 496496 là số hoàn hảo

  • 81288128 là số hoàn hảo

  • ...

Mặc dù đã được định nghĩa từ hơn 2500 năm trước, nhân loại cho đến hiện tại (năm 2026) cũng mới chỉ tìm thấy vỏn vẹn 52 con số hoàn hảo, toàn bộ chúng đều là số chẵn. Người ta tin rằng những người theo trường phái Pythagoras (thế kỷ thứ 6 TCN) là những người đầu tiên chú ý đến các số này. Đối với họ, số không chỉ là công cụ tính toán mà còn mang ý nghĩa tâm linh. Họ gọi số 6 và 28 là "số hoàn hảo" vì tổng các ước của chúng bằng chính chúng, tượng trưng cho sự hài hòa và cân bằng tuyệt đối của vũ trụ. Trong thời cổ đại, số 6 được coi là số hoàn hảo vì Chúa tạo ra thế giới trong 6 ngày, và số 28 được coi là hoàn hảo vì đó là chu kỳ của mặt trăng.

Cho đến khoảng năm 300 TCN, Euclid mới thực sự đưa số hoàn hảo vào hệ thống toán học chặt chẽ là Euclid. Trong bộ sách kinh điển "Cơ sở" (Elements) - Quyển IX, ông đã đưa ra định lý mà chúng ta sẽ thảo luận ở phần sau:

Nếu bao nhiêu số tùy ý bắt đầu từ đơn vị được lập thành một cấp số nhân theo tỉ lệ gấp đôi cho đến khi tổng của chúng là một số nguyên tố, và nếu tổng này được nhân với số hạng cuối cùng, thì kết quả sẽ là một số hoàn hảo.

Đây là lần đầu tiên nhân loại có một "công thức" để tạo ra số hoàn hảo thay vì chỉ đi tìm một cách ngẫu nhiên.

Đến năm 1747, Leonhard Euler mới chứng minh được phần còn lại của bức tranh: "Mọi số hoàn hảo chẵn đều phải tuân theo công thức của Euclid". Điều này định hình toàn bộ hướng nghiên cứu về số hoàn hảo cho đến tận ngày nay. Con số hoàn hảo gần đây nhất, số thứ 52, tìm được tìm ra vào năm 2024 từ dự án GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) có chiều dài lên đến hơn 80 triệu chữ số.

Mối liên hệ giữa số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo là một trong những vẻ đẹp cân xứng nhất của toán học. Nó được thiết lập dựa trên Định lý Euclid-Euler. Mối quan hệ này có hai chiều: một chiều do Euclid tìm ra (thời Hy Lạp cổ đại) và chiều ngược lại do Leonhard Euler chứng minh sau đó khoảng 2000 năm.

Công thức

Euclid đã chứng minh rằng: Nếu 2p−12^p - 1 là một số nguyên tố (đây chính là định nghĩa của số nguyên tố Mersenne), thì con số được tạo ra bởi công thức:

n=2p−1(2p−1)n = 2^{p-1}(2^p - 1)

chắc chắn sẽ là một số hoàn hảo. Ngược lại, Euler đến thế kỷ 18 mới chứng minh được rằng mọi số hoàn hảo chẵn bắt buộc phải có dạng mà Euclid đã tìm ra. Nói cách khác, không tồn tại một số hoàn hảo chẵn nào "đi lạc" ngoài công thức liên quan đến số nguyên tố Mersenne. Nếu muốn tìm số hoàn hảo chẵn mới, ta bắt buộc phải tìm số nguyên tố Mersenne mới.

Chứng minh - Chiều thuận

Để chứng minh công thức chiều thuận: Nếu 2p−12^p-1 là số nguyên tố thì 2p−1(2p−1)2^{p-1}(2^p-1) là số hoàn hảo, ta sẽ dùng một hàm σ(n)\sigma(n) được định nghĩa là tổng tất cả các ước số của nn. Ví dụ:

  • σ(4)=1+2+4=7\sigma(4) = 1+2+4=7

  • σ(7)=1+7=8\sigma(7)=1+7=8

Các tính chất của σ(n)\sigma(n):

  • Tính chất 1: Nếu pp là số nguyên tố thì σ(p)=p+1\sigma(p)=p+1

  • Tính chất 2: σ(2k)=1+2+22+⋯+2k=2k+1−1\sigma(2^k) = 1+2+2^2+\dots+2^k=2^{k+1}-1

  • Tính chất 3: Nếu gcd⁡(a,b)=1\gcd(a,b)=1 thì σ(a.b)=σ(a).σ(b)\sigma(a.b)=\sigma(a).\sigma(b). (Mình sẽ chứng minh tính chất này ở phần phụ lục sau cho đỡ loãng)

Okay, bây giờ ta đi vào chứng minh chi tiết. Ta có n=2p−1⋅(2p−1)n = 2^{p-1} \cdot (2^p - 1). Đặt q=2p−1q = 2^p - 1. Theo giả thiết, qq là một số nguyên tố. Vì q=2p−1q = 2^p - 1 luôn là số lẻ (với p≥2p \ge 2), nên gcd⁡(2p−1,q)=1\gcd(2^{p-1}, q) = 1. Do đó theo tính chất 3 bên trên, ta có:

σ(n)=σ(2p−1⋅q)=σ(2p−1)⋅σ(q)\sigma(n) = \sigma(2^{p-1} \cdot q) = \sigma(2^{p-1}) \cdot \sigma(q)

Áp dụng tính chất 1 và tính chất 2:

σ(n)=σ(2p−1⋅q)=σ(2p−1)⏟2(p−1)+1−1⋅σ(q)⏟q+1=(2(p+1)−1−1)⋅(q+1)=(2p−1)⋅((2p−1)+1)=(2p−1)⋅2p\begin{align*} \sigma(n) &= \sigma(2^{p-1} \cdot q) = \underbrace{\sigma(2^{p-1})}_{2^{(p-1) + 1} - 1} \cdot \underbrace{\sigma(q)}_{q+1} \\ &= (2^{(p+1)-1}-1)\cdot(q+1) \\ &= (2^p-1)\cdot((2^p-1)+1) \\ &= (2^p-1)\cdot2^p \end{align*}

Mà ta lại có n=2p−1⋅(2p−1)n = 2^{p-1} \cdot (2^p - 1) do đó σ(n)=2n\sigma(n) = 2n. Vì tổng tất cả các ước của nn (bao gồm cả chính nó) bằng 2n2n, nên tổng các ước thực sự (không kể nn) sẽ là 2n−n=n2n-n=n. Điều này định nghĩa chính xác một số hoàn hảo. Chứng minh hoàn tất.

Chứng minh - Chiều nghịch (Định lý Euclid-Euler)

Nếu nn là một số hoàn hảo chẵn, thì nn phải có dạng n=2k−1(2k−1)n = 2^{k-1}(2^k - 1), trong đó 2k−12^k - 1 là một số nguyên tố.

Ta đi vào chứng minh của Euler như sau:

Vì nn là số chẵn, ta có thể viết n=2k−1⋅mn = 2^{k-1} \cdot m, trong đó mm là một số lẻ và k≥2k \ge 2. Vì nn là số hoàn hảo, ta có σ(n)=2n\sigma(n) = 2n. Thay n=2k−1⋅mn = 2^{k-1} \cdot m vào:

σ(2k−1⋅m)=2⋅(2k−1⋅m)⏟n=2k⋅m(∗)\sigma(2^{k-1} \cdot m) = 2 \cdot \underbrace{(2^{k-1} \cdot m)}_{n} = 2^k \cdot m \quad (*)

Vì 2k−12^{k-1} và mm nguyên tố cùng nhau:

σ(sk−1⋅m)=σ(sk−1)⋅σ(m)=(2k−1)⋅σ(m)(∗∗)\sigma(s^{k-1}\cdot m) = \sigma(s^{k-1})\cdot\sigma(m) = (2^k-1)\cdot\sigma(m) \quad (**)

Từ (∗),(∗∗)(*), (**) suy ra:

2k⋅m=(2k−1)⋅σ(m)=2kσ(m)−σ(m)2^k \cdot m = (2^k-1)\cdot \sigma(m) \\ = 2^k\sigma(m) - \sigma(m)

Suy ra σ(m)\sigma(m) buộc phải chia hết cho 2k2^k. Đặt σ(m)=2k⋅c\sigma(m) = 2^k \cdot c:

(2k−1)⋅2k⋅c=2k⋅m  ⟹  m=(2k−1)⋅c(2^k - 1) \cdot 2^k \cdot c = 2^k \cdot m \implies m = (2^k - 1) \cdot c

Bây giờ ta có hai ước của mm chắc chắn tồn tại là cc và (2k−1)⋅c(2^k - 1) \cdot c (chính là mm).

  • Nếu c>1c > 1, thì mm có ít nhất 3 ước là: 1,c,m1, c, m.

  • Khi đó σ(m)≥1+c+m=1+c+(2k−1)c=1+2k⋅c\sigma(m) \ge 1 + c + m = 1 + c + (2^k - 1)c = 1 + 2^k \cdot c.

  • Nhưng ta có σ(m)=2k⋅c\sigma(m) = 2^k \cdot c. Điều này dẫn đến mâu thuẫn (2k⋅c≥1+2k⋅c2^k \cdot c \ge 1 + 2^k \cdot c là vô lý).

Vậy cc bắt buộc phải bằng 11. Khi c=1c = 1, ta có m=2k−1m = 2^k - 1 và σ(m)=2k\sigma(m) = 2^k. Vì σ(m)=m+1\sigma(m) = m + 1, điều này chứng tỏ mm phải là số nguyên tố.

Chứng minh tính chất hàm σ(n)\sigma(n)

Tính chất 2: σ(2k)=1+2+22+⋯+2k=2k+1−1\sigma(2^k) = 1+2+2^2+\dots+2^k=2^{k+1}-1. Chứng minh: Vì rõ ràng là 2k2^k chỉ có các ước số là 1,2,22,…,2k1,2,2^2,\dots,2^k nên ta có đpcm.

Tính chất 3: Nếu gcd⁡(a,b)=1\gcd(a,b)=1 thì σ(a.b)=σ(a).σ(b)\sigma(a.b)=\sigma(a).\sigma(b). Chứng minh: Giả sử tập hợp các ước của aa là {a1,a2,…,am}\{a_1, a_2, \dots, a_m\} và tập hợp các ước của bb là {b1,b2,…,bn}\{b_1, b_2, \dots, b_n\}. Theo định nghĩa hàm σ\sigma:

  • σ(a)=a1+a2+⋯+am\sigma(a) = a_1 + a_2 + \dots + a_m

  • σ(b)=b1+b2+⋯+bn\sigma(b) = b_1 + b_2 + \dots + b_n

Vì gcd⁡(a,b)=1\gcd(a, b) = 1, mỗi ước của a⋅ba \cdot b là tích của một ước của aa và một ước của bb. Tập hợp tất cả các ước của a⋅ba \cdot b chính là:

{ai⋅bj∣1≤i≤m,1≤j≤n}\{a_i \cdot b_j \mid 1 \le i \le m, 1 \le j \le n\}

Tổng các ước của σ(a⋅b)\sigma(a \cdot b):

σ(a⋅b)=∑i=1m∑j=1n(ai⋅bj)\sigma(a \cdot b) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n (a_i \cdot b_j)

Chúng ta có thể viết lại tổng trên như sau:

σ(a⋅b)=(a1b1+a1b2+⋯+a1bn)+(a2b1+a2b2+⋯+a2bn)+⋯+(amb1+⋯+ambn)\sigma(a \cdot b) = (a_1 b_1 + a_1 b_2 + \dots + a_1 b_n) + (a_2 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_2 b_n) + \dots + (a_m b_1 + \dots + a_m b_n)

Nhóm các hạng tử có chung aia_i:

σ(a⋅b)=a1(b1+⋯+bn)+a2(b1+⋯+bn)+⋯+am(b1+⋯+bn)\sigma(a \cdot b) = a_1(b_1 + \dots + b_n) + a_2(b_1 + \dots + b_n) + \dots + a_m(b_1 + \dots + b_n)

Đặt (b1+⋯+bn)(b_1 + \dots + b_n) làm nhân tử chung:

σ(a⋅b)=(a1+a2+⋯+am)⏟σ(a)⋅(b1+b2+⋯+bn)⏟σ(b)\sigma(a \cdot b) = \underbrace{(a_1 + a_2 + \dots + a_m)}_{\sigma(a)} \cdot \underbrace{(b_1 + b_2 + \dots + b_n)}_{\sigma(b)}

=> đpcm.

Một số tính chất kỳ diệu khác của Số hoàn hảo

  • Tất cả các số hoàn hảo chẵn đã biết đều kết thúc bằng chữ số 6 hoặc cụm chữ số 28. Hơn thế nữa, nếu chữ số cuối là 6, thì chữ số hàng chục phải là số lẻ; nếu kết thúc là 28, thì chữ số hàng trăm phải là số lẻ. Ví dụ: 6, 28, 496, 8128, 33550336

  • Nếu lấy tất cả các ước của một số hoàn hảo (kể cả chính nó) và tính tổng nghịch đảo của chúng, kết quả luôn luôn bằng 2. Đối với số hoàn hảo nn:

    ∑d∣n1d=2\sum_{d|n} \frac{1}{d} = 2

    Ví dụ: với số 6, các ước là 1, 2, 3, 6. 11+12+13+16=2\displaystyle \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 2.

  • Mọi số hoàn hảo chẵn n=2p−1(2p−1)n = 2^{p-1}(2^p-1) đều là một số tam giác (triangular number). Nghĩa là nó có thể được viết dưới dạng tổng của các số nguyên liên tiếp từ 1 đến một số MM nào đó (M=2p−1M = 2^p - 1).

    • 6=1+2+36 = 1 + 2 + 3

    • 28=1+2+3+4+5+6+728 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

  • Ngoại trừ số 6, mọi số hoàn hảo chẵn đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng các lập phương của các số nguyên lẻ liên tiếp:

    • 28=13+3328 = 1^3 + 3^3

    • 496=13+33+53+73496 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3

    • 8128=13+33+53+73+93+113+133+1538128 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + 11^3 + 13^3 + 15^3

  • Nếu thực hiện cộng các chữ số của một số hoàn hảo chẵn (ngoại trừ số 6) cho đến khi còn một chữ số duy nhất, kết quả luôn là 1.

    • Với 28: 2+8=10→1+0=12 + 8 = 10 \to 1 + 0 = \mathbf{1}

    • Với 496: 4+9+6=19→1+9=10→1+0=14 + 9 + 6 = 19 \to 1 + 9 = 10 \to 1 + 0 = \mathbf{1}

    • Với 8128: 8+1+2+8=19→⋯=18 + 1 + 2 + 8 = 19 \to \dots = \mathbf{1}

Các tính chất trên đều đã được chứng minh chặt chẽ về mặt toán học. Các bạn hoàn toàn có thể dùng các phương pháp chia hết, đồng dư, ... để chứng minh các tính chất này khá dễ dàng, mình xin nhường lại phần chứng minh các tính chất này cho các bạn!

Các bài toán vẫn chưa có lời giải

Mặc dù đã có lịch sử từ rất lâu đời, tuy nhiên chúng ta suốt hơn 2.300 năm qua, từ Euclid đến các siêu máy tính hiện đại, chúng ta vẫn chưa thể phá vỡ những câu hỏi:

  • Vô hạn số hoàn hảo? Câu trả lời nằm ở các số nguyên tố Mersenne; dù chúng ta tin rằng chúng là vô hạn, nhưng cho đến nay vẫn chưa ai tìm được một chứng minh tổng quát để khẳng định dãy số này không bao giờ kết thúc.

  • Số hoàn hảo lẻ? Đây là một "bóng ma" toán học – chúng ta chưa từng thấy nó, nhưng cũng không thể chứng minh nó không tồn tại, dù các nhà toán học đã đặt ra hàng loạt điều kiện khắt khe đến mức nếu nó thực sự tồn tại, nó phải là một con số khổng lồ với ít nhất 1.500 chữ số.

Chính sự dở dang này khiến số hoàn hảo không chỉ là một khái niệm cũ kỹ, mà vẫn luôn là một biên giới đầy mê hoặc đối với bất kỳ ai yêu thích vẻ đẹp thuần khiết của những con số.

More from Fun Maths & Statistics

Comments

0/300

Leave name/email blank to comment anonymously

No comments yet. Be the first to comment!