Một bài toán từ các lá bài

Bài toán

Ngồi suy nghĩ vẩn vơ, bỗng nhiên mình đặt ra trong đầu một bài toán thế này:

Trong một bộ bài tây 52 lá, một bộ 3 lá gọi là "may mắn" nếu có tổng lớn hơn hoặc bằng 5 tính theo luật chơi bài cào:

- 10,J,Q,K: tính là 0

- A: tính là 1

- 2-9: là giá trị tương ứng

tổng giá trị 3 lá được tính bằng (c1+c2+c3) chia 10 lấy phần dư. Thí dụ: 7,4,J ==> 7+4+0 = 11, chia 10 dư 1, vậy tổng 3 lá là 1.

Hỏi liệu rẳng có tồn tại một cách sắp xếp sao cho rút 3 lá liên tiếp bất kỳ luôn luôn là 1 bộ 3 may mắn không? (nếu rút đến cuối thì lại quay lại rút ngược các lá trên đỉnh)

Lời giải

Thiết lập bài toán

Gọi thứ tự 52 lá bài xếp trên một vòng tròn là $c_1, c_2, \dots, c_{52}$ (với $c_i \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$).

Giá trị thực của từng lá bài theo luật bài cào:

• 16 lá $10, J, Q, K$: giá trị 0

• 4 lá A: giá trị 1

• 32 lá từ $2$ đến $9$: giá trị từ 2 đến 9 (mỗi loại 4 lá)

Tổng giá trị của 52 lá bài là:

Xét 52 bộ 3 lá liên tiếp $(c_i, c_{i+1}, c_{i+2})$ với $i = 1, \dots, 52$ (chỉ số tính theo $\bmod 52$). Gọi $s_i = c_i + c_{i+1} + c_{i+2}$ là tổng thực tế của bộ thứ $i$. Do mỗi lá bài $c_k$ xuất hiện đúng 3 lần trong 52 bộ, tổng của tất cả 52 bộ này là:

Để mọi bộ 3 lá đều là "may mắn" (điểm cào $\ge 5$), ta bắt buộc phải có:

Ta biểu diễn $s_i = 10 q_i + r_i$, trong đó $r_i \ge 5$ và $q_i = \lfloor s_i / 10 \rfloor \in \{0, 1, 2\}$ (vì tổng 3 lá tối đa là $9 + 9 + 9 = 27$).

Cộng tất cả 52 bộ lại:

Vì $r_i \ge 5$ với mọi $i$, ta có $\sum_{i=1}^{52} r_i \ge 52 \times 5 = 260$.

Do đó:

Trường hợp 1: $Q=28$

Nếu $Q = 28$, để đẳng thức $10(28) + \sum r_i = 540$ xảy ra, ta bắt buộc phải có:

Nghĩa là điểm cào của mọi bộ 3 lá đều đúng bằng 5:

Xét hai bộ liên tiếp $s_i$ và $s_{i+1}$:

Trừ hai phương trình trên cho nhau, ta được:

Vì mỗi lá bài $c_k$ có giá trị từ $0$ đến $9$, điều kiện $c_{i+3} \equiv c_i \pmod{10}$ tương đương với:

Điều này đòi hỏi dãy 52 lá bài phải tuần hoàn theo chu kỳ 3 (dạng $c_1, c_2, c_3, c_1, c_2, c_3, \dots$).

Trân một vòng gồm 52 vị trí, số lần xuất hiện của lá $c_1$ là:

Mâu thuẫn: Trong bộ bài tây 52 lá, loại lá xuất hiện nhiều nhất là nhóm lá 0 điểm (10, J, Q, K) cũng chỉ có 16 lá. Không có bất kỳ giá trị lá bài nào có tới 18 lá.

Do đó, trường hợp $Q = 28$ không thể xảy ra.

Trường hợp 2: $Q\le27$

Gọi $n_0, n_1, n_2$ lần lượt là số lượng bộ 3 lá có $q_i = 0, 1, 2$.

Ta có hệ:

Rút $n_0$ từ hai phương trình trên:

Điều này có nghĩa là phải có ít nhất 25 bộ 3 lá có $q_i = 0$, tức là tổng thực tế $s_i \le 9$.

Bây giờ ta kiểm tra khả năng tạo ra một bộ có tổng $s_i \le 9$:

• Nhóm lá điểm lớn $L = \{5, 6, 7, 8, 9\}$ gồm 20 lá.

• Nhóm lá điểm nhỏ $S = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ gồm 32 lá (16 lá 0 điểm và 16 lá 1,2,3,4).

Để một bộ 3 lá có tổng $s_i \le 9$:

• Bộ đó không thể chứa 2 lá thuộc nhóm $L$, vì $5 + 5 + 0 = 10 > 9$.

• Do đó, mỗi bộ trong 25 bộ này bắt buộc phải chứa ít nhất 2 lá thuộc nhóm $S$ (lá điểm nhỏ $\le 4$).

Tổng số lượt xuất hiện của nhóm $S$ trong 25 bộ này là ít nhất:

Tuy nhiên, bộ bài chỉ có đúng 32 lá thuộc nhóm $S$. Vì mỗi lá xuất hiện trong đúng 3 bộ, tổng số lượt xuất hiện tối đa của nhóm $S$ trong toàn bộ 52 bộ chỉ là:

Mặt khác, xét 16 lá 0 điểm:

• Một lá 0 điểm nằm trong bộ 3 lá $(A, 0, B)$ có tổng $A + B$.

• Để $s_i \ge 15$ ($q_i \ge 1$), ta phải có $A + B \ge 15$, điều này đòi hỏi cả $A$ và $B$ đều phải $\ge 6$.

• Bộ bài chỉ có 16 lá $\ge 6$ (4 lá 6, 4 lá 7, 4 lá 8, 4 lá 9). Do đó, chỉ có tối đa $16 / 2 = 8$ lá 0 điểm có thể tham gia vào các bộ có $s_i \ge 15$.

• 8 lá 0 điểm còn lại bắt buộc phải tạo ra các bộ có $s_i \le 9$. Mỗi lá 0 này chiếm 3 bộ xung quanh nó, liên tục tạo ra thêm các bộ có $s_i \le 9$.

Sự ép buộc đồng thời giữa việc thiếu số lượng lá điểm lớn ($\ge 5$) để "gánh" 16 lá số 0 và giới hạn $Q \le 27$ khiến việc xếp 32 lá điểm nhỏ không bị đụng độ nhau là nhiệm vụ không thể hoàn thành.

Vậy nếu không cho rút theo vòng tròn thì sao?

Ở đây chúng ta dễ rơi vào một bẫy trực giác: Rút theo vòng tròn không được thì làm sao rút không theo vòng tròn (nghĩa là chỉ có 50 bộ 3 lá vì lá thứ 51, 52 không đủ bài để rút) . Tuy nhiên hóa ra khi không cho rút theo vòng tròn thực chất lại là bỏ bớt điều kiện:

• Xếp vòng tròn: Cần thỏa mãn 52 bộ 3 lá liên tiếp (bao gồm 2 bộ nối từ lá cuối về các lá đầu).

• Xếp tuyến tính: Chỉ cần thỏa mãn 50 bộ 3 lá liên tiếp (từ bộ $c_1 c_2 c_3$ đến bộ $c_{50} c_{51} c_{52}$).

Khi bớt đi 2 điều kiện ràng buộc ở hai đầu bộ bài, bài toán không những không khó hơn mà lại TỒN TẠI LỜI GIẢI.

Bạn có thể xếp bộ bài theo đúng thứ tự từ trên xuống dưới như sau (trong đó 0 đại diện cho các lá 10, J, Q, K):

Thật thú vị!